エレガントな解答を求む

■ エレガントな解答を求む

1投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時20分54秒: 以前、別スレで、連続する４つの自然数を掛けて１を足すとある数の冪乗になるという話題がありました。
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n(n+3)+1)^2

さて、このある数=n(n+3)+1 は素数になる事が多いようです。
実際、n=1,2,3,4,5,,, に対して　5,11,19,29,41,,,という感じです。

一方　n=5m+1( mは自然数)　の場合は、必ず素因子5を持ちます。
このある数が、素数にはならない条件を求めてください。

12投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時47分55秒: 二次の式n(n+3)+1が因数分解できない条件を考えるんだな。

13投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時50分59秒: n(n+3)+1=0がnについて正数解を持たない条件か。

14投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時03分47秒: これって模範解答的なものは用意してあるん

15投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時13分56秒: a = b^2 + 3b + 1
をみたす場合の
am + b

16投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時21分22秒: >>15
できたら証明を

17投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時26分10秒: まずは俺に「冪乗」の読みを教えろ

18投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時26分55秒: べきじょう

19投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時27分43秒: n=αX+β
とすると
n(n+3)+1
=(αX+β)(αX+β+3)+1
=(αX)^2+α(2β+3)X+(β^2+3β+1)
よって
とりあえずｗ
α=β^2+3β+1
のときはαが因数になる

20投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時29分21秒: 必要充分条件とすべきでしたか、、、

21投稿者：１　投稿日：2008年05月07日(水) 20時46分40秒: 仕切り直しで、
必要充分条件をお願いします

22投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時59分58秒: まずn=1のとき
n(n+3)+1＝5で条件をみたさない。
n>1のときnは
αX+β（α、βは素数、Xは整数）
という形で書けて
n(n+3)+1
=(αX+β)(αX+β+3)+1
=(αX)^2+α(2β+3)X+(β^2+3β+1)
よって
まずα=β^2+3β+1(★)
のときはαが因数になり条件をみたす。
次に
αY=β^2+3β+1（Yは整数）
と書ける可能性を検討すると
0=β^2+3β+1-αY
の判別式
13-4αY≧0
をみたす素数α,整数Yは存在しない。
よって(★)の場合のみ。

23投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 21時00分27秒: と言い切っていいのかどうか

24投稿者：Yの定義のとこ以下に訂正 　投稿日：2008年05月07日(水) 21時05分51秒: αY=β^2+3β+1（Yは0と1以外の整数）
と書ける可能性を検討すると
0=β^2+3β+1-αY
の判別式
13-4αY≧0
をみたす素数α,0と1以外の整数Yは存在しない。
よって(★)の場合のみ。

25投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 21時09分51秒: いけね。判別式のとこプラスとマイナスまちがえたｗ
>>22-24は無しで

26投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 22時48分54秒: a,bが整数として
nがn=(ab-1)/(a+b+3)
を満たす自然数の時
n(n+3)+1は素数にならない。

27投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 22時58分53秒: Natural Number n satisfies n=(ab-1)/(a+b+3) iff n(n+3)+1 is not Prime Number.

のようなかんじの記述を望んでたんですが証明を宜しくお願い致します。

28投稿者：26 　投稿日：2008年05月07日(水) 23時11分52秒: a,bは整数として自然数の積を強引に(n-a)(n-b)にして
n(n+3)+1=(n-a)(n-b)
とすればnの2次がキャンセルされて
あとは式変形。
こんなのが答えとは思えない。

29投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 23時15分53秒: ('A`)　ちょっと　酔いが　まわって　きた　ので　今日は　ここらへんで
　　　ゴメンナサイ

30投稿者：こうは 　投稿日：2008年05月07日(水) 23時31分14秒: ekivenか

31投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月08日(木) 07時03分38秒: え>>1＝>>29なの？

32投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月08日(木) 08時55分52秒: １≠２９＝２７　か

33投稿者：こうは 　投稿日：2008年05月08日(木) 09時00分15秒: 難しい

34投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月08日(木) 11時37分26秒: 大さんage

35投稿者：大　投稿日：2008年05月08日(木) 11時43分53秒 ID：kFiti5Fm: こんな高度な数学俺には無理だと思う。
というか素数じゃない条件てn=5m+1( mは自然数)　
これがもう答だと思うんだけどな。

36投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月08日(木) 13時02分14秒: >>10-11
m=4のとき素数になることを確認しますた

37投稿者：大　投稿日：2008年05月08日(木) 15時24分27秒 ID：kFiti5Fm: そもそも力技で実例試したりエクセルで全組み合わせ考えたりする
俺の今までの解法はエレガントから程遠いな。どっちかというと
アロガント

38投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月08日(木) 15時26分19秒: 模範解答の発表は？

39投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月08日(木) 15時50分49秒: その前に補題です。
n^2+1 が素数になる必要充分条件を求めてみてください。

40投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月08日(木) 23時56分29秒: >>26的な意味で
a,bが整数として
nがn=(ab-1)/(a+b)
を満たす自然数の時
n^2+1は素数にならない。
くらいしか

41投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月11日(日) 20時34分12秒: そろそろ発表を

42投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月12日(月) 08時24分30秒: 該当する場合が多すぎて絞れないじょ

43投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月12日(月) 14時47分17秒: ＞p = [ θ^(3^n) ] としたとき、すべての自然数 n に対して p が必ず素数と
＞なるような定数 θ が存在します。但し [] はガウスの記号。

顔文字やん

44投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月13日(火) 09時13分37秒: こんな人だったのか
http://www.zakzak.co.jp/top/2008_05/t2008051237_all.html

45投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月13日(火) 09時19分59秒: ナント、、、合掌(;-;)
学コン懐かしいな
受験勉強であれをやってる時が至福の時だったです

46投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月13日(火) 09時24分47秒: >>41 聞く所によると、補題>>39すら未解決だそうです
解けたら論文になりそう
無責任な出題をして申し訳ありませんでした。

47投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月13日(火) 09時29分06秒: なんか理系の学者さんって長髪多くない？あと芸術系

>>46
DAYONE

48投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月13日(火) 12時17分03秒: ふざけんな。
なにが「エレガントな」解答求むだ。

49投稿者：こうは 　投稿日：2008年05月13日(火) 12時18分11秒: >>2が一番エレガント

50投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月13日(火) 13時32分57秒: ('A`)　ゴ、ゴメン　謝る　悪かった　私が莫迦でした　>>48

51投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月13日(火) 14時04分55秒: え！ちょっと待って
>>1も駅弁なの？？？

52投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月13日(火) 14時17分27秒: >素因子

っていうのがなんか駅弁くさい感じではあったのだが