エレガントな解答を求む

■ エレガントな解答を求む

1投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時20分54秒: 以前、別スレで、連続する４つの自然数を掛けて１を足すとある数の冪乗になるという話題がありました。
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n(n+3)+1)^2

さて、このある数=n(n+3)+1 は素数になる事が多いようです。
実際、n=1,2,3,4,5,,, に対して　5,11,19,29,41,,,という感じです。

一方　n=5m+1( mは自然数)　の場合は、必ず素因子5を持ちます。
このある数が、素数にはならない条件を求めてください。

22投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時59分58秒: まずn=1のとき
n(n+3)+1＝5で条件をみたさない。
n>1のときnは
αX+β（α、βは素数、Xは整数）
という形で書けて
n(n+3)+1
=(αX+β)(αX+β+3)+1
=(αX)^2+α(2β+3)X+(β^2+3β+1)
よって
まずα=β^2+3β+1(★)
のときはαが因数になり条件をみたす。
次に
αY=β^2+3β+1（Yは整数）
と書ける可能性を検討すると
0=β^2+3β+1-αY
の判別式
13-4αY≧0
をみたす素数α,整数Yは存在しない。
よって(★)の場合のみ。

23投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 21時00分27秒: と言い切っていいのかどうか

24投稿者：Yの定義のとこ以下に訂正 　投稿日：2008年05月07日(水) 21時05分51秒: αY=β^2+3β+1（Yは0と1以外の整数）
と書ける可能性を検討すると
0=β^2+3β+1-αY
の判別式
13-4αY≧0
をみたす素数α,0と1以外の整数Yは存在しない。
よって(★)の場合のみ。