エレガントな解答を求む

■ エレガントな解答を求む

1投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時20分54秒: 以前、別スレで、連続する４つの自然数を掛けて１を足すとある数の冪乗になるという話題がありました。
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n(n+3)+1)^2

さて、このある数=n(n+3)+1 は素数になる事が多いようです。
実際、n=1,2,3,4,5,,, に対して　5,11,19,29,41,,,という感じです。

一方　n=5m+1( mは自然数)　の場合は、必ず素因子5を持ちます。
このある数が、素数にはならない条件を求めてください。

2投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時24分13秒: 宿題は自分でやれ

3投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時27分25秒: つか間違ってない？

4投稿者：こうは 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時31分07秒: そもそも冪乗ってのが読めん

5投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時32分26秒: 板が止まった(;´Д｀)
立てなきゃよかった(;´Д｀)
(;´Д｀)

6投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時35分46秒: n=5m+1( mは自然数)
はどうみても５じゃ割り切れない

7投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時36分09秒: n(n+3)+1が素数にならない条件を考えるってのが問題で
前半は関係ないと思っていいのか？

8投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時37分44秒: >>6
n=5m+1
(5m+1)(5m+1+3)+1=(5m+1)(5m+4)+1=25m^2+25m+4+1=5(5m^2+5m+1)

9投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時38分36秒: >>7
そう、お考えください。

10投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時42分32秒: ちなみに、n=11mも素数にはならないという予想でしたがn=1,2,3の場合しか確認できていません。

11投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時47分10秒: まちがえ、「m=1,2,3の場合」

12投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時47分55秒: 二次の式n(n+3)+1が因数分解できない条件を考えるんだな。

13投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 19時50分59秒: n(n+3)+1=0がnについて正数解を持たない条件か。

14投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時03分47秒: これって模範解答的なものは用意してあるん

15投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時13分56秒: a = b^2 + 3b + 1
をみたす場合の
am + b

16投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時21分22秒: >>15
できたら証明を

17投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時26分10秒: まずは俺に「冪乗」の読みを教えろ

18投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時26分55秒: べきじょう

19投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時27分43秒: n=αX+β
とすると
n(n+3)+1
=(αX+β)(αX+β+3)+1
=(αX)^2+α(2β+3)X+(β^2+3β+1)
よって
とりあえずｗ
α=β^2+3β+1
のときはαが因数になる

20投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時29分21秒: 必要充分条件とすべきでしたか、、、

21投稿者：１　投稿日：2008年05月07日(水) 20時46分40秒: 仕切り直しで、
必要充分条件をお願いします

22投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 20時59分58秒: まずn=1のとき
n(n+3)+1＝5で条件をみたさない。
n>1のときnは
αX+β（α、βは素数、Xは整数）
という形で書けて
n(n+3)+1
=(αX+β)(αX+β+3)+1
=(αX)^2+α(2β+3)X+(β^2+3β+1)
よって
まずα=β^2+3β+1(★)
のときはαが因数になり条件をみたす。
次に
αY=β^2+3β+1（Yは整数）
と書ける可能性を検討すると
0=β^2+3β+1-αY
の判別式
13-4αY≧0
をみたす素数α,整数Yは存在しない。
よって(★)の場合のみ。

23投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ﾊﾞｶｰ 　投稿日：2008年05月07日(水) 21時00分27秒: と言い切っていいのかどうか

24投稿者：Yの定義のとこ以下に訂正 　投稿日：2008年05月07日(水) 21時05分51秒: αY=β^2+3β+1（Yは0と1以外の整数）
と書ける可能性を検討すると
0=β^2+3β+1-αY
の判別式
13-4αY≧0
をみたす素数α,0と1以外の整数Yは存在しない。
よって(★)の場合のみ。