エレガントな解答を求む
1投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時20分54秒
以前、別スレで、連続する4つの自然数を掛けて1を足すとある数の冪乗になるという話題がありました。
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n(n+3)+1)^2

さて、このある数=n(n+3)+1 は素数になる事が多いようです。
実際、n=1,2,3,4,5,,, に対して 5,11,19,29,41,,,という感じです。

一方 n=5m+1( mは自然数) の場合は、必ず素因子5を持ちます。
このある数が、素数にはならない条件を求めてください。
2投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時24分13秒
宿題は自分でやれ
3投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時27分25秒
つか間違ってない?
4投稿者:こうは  投稿日:2008年05月07日(水) 19時31分07秒
そもそも冪乗ってのが読めん
5投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時32分26秒
板が止まった(;´Д`)
立てなきゃよかった(;´Д`)
(;´Д`)

6投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時35分46秒
n=5m+1( mは自然数)
はどうみても5じゃ割り切れない
7投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時36分09秒
n(n+3)+1が素数にならない条件を考えるってのが問題で
前半は関係ないと思っていいのか?
8投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時37分44秒
>>6
n=5m+1
(5m+1)(5m+1+3)+1=(5m+1)(5m+4)+1=25m^2+25m+4+1=5(5m^2+5m+1)
9投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時38分36秒
>>7
そう、お考えください。
10投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時42分32秒
ちなみに、n=11mも素数にはならないという予想でしたがn=1,2,3の場合しか確認できていません。
11投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時47分10秒
まちがえ、「m=1,2,3の場合」
12投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時47分55秒
二次の式n(n+3)+1が因数分解できない条件を考えるんだな。
13投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時50分59秒
n(n+3)+1=0がnについて正数解を持たない条件か。
14投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時03分47秒
これって模範解答的なものは用意してあるん
15投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時13分56秒
a = b^2 + 3b + 1
をみたす場合の
am + b
16投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時21分22秒
>>15
できたら証明を
17投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時26分10秒
まずは俺に「冪乗」の読みを教えろ
18投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時26分55秒
べきじょう
19投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時27分43秒
n=αX+β
とすると
n(n+3)+1
=(αX+β)(αX+β+3)+1
=(αX)^2+α(2β+3)X+(β^2+3β+1)
よって
とりあえずw
α=β^2+3β+1
のときはαが因数になる
20投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時29分21秒
必要充分条件とすべきでしたか、、、
21投稿者: 投稿日:2008年05月07日(水) 20時46分40秒
仕切り直しで、
必要充分条件をお願いします
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