エレガントな解答を求む
1投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時20分54秒
以前、別スレで、連続する4つの自然数を掛けて1を足すとある数の冪乗になるという話題がありました。
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=n^4+6n^3+11n^2+6n+1=(n(n+3)+1)^2

さて、このある数=n(n+3)+1 は素数になる事が多いようです。
実際、n=1,2,3,4,5,,, に対して 5,11,19,29,41,,,という感じです。

一方 n=5m+1( mは自然数) の場合は、必ず素因子5を持ちます。
このある数が、素数にはならない条件を求めてください。
3投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時27分25秒
つか間違ってない?
4投稿者:こうは  投稿日:2008年05月07日(水) 19時31分07秒
そもそも冪乗ってのが読めん
5投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時32分26秒
板が止まった(;´Д`)
立てなきゃよかった(;´Д`)
(;´Д`)

6投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時35分46秒
n=5m+1( mは自然数)
はどうみても5じゃ割り切れない
7投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時36分09秒
n(n+3)+1が素数にならない条件を考えるってのが問題で
前半は関係ないと思っていいのか?
8投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時37分44秒
>>6
n=5m+1
(5m+1)(5m+1+3)+1=(5m+1)(5m+4)+1=25m^2+25m+4+1=5(5m^2+5m+1)
9投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時38分36秒
>>7
そう、お考えください。
10投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時42分32秒
ちなみに、n=11mも素数にはならないという予想でしたがn=1,2,3の場合しか確認できていません。
11投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時47分10秒
まちがえ、「m=1,2,3の場合」
12投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時47分55秒
二次の式n(n+3)+1が因数分解できない条件を考えるんだな。
13投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 19時50分59秒
n(n+3)+1=0がnについて正数解を持たない条件か。
14投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時03分47秒
これって模範解答的なものは用意してあるん
15投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時13分56秒
a = b^2 + 3b + 1
をみたす場合の
am + b
16投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時21分22秒
>>15
できたら証明を
17投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時26分10秒
まずは俺に「冪乗」の読みを教えろ
18投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時26分55秒
べきじょう
19投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時27分43秒
n=αX+β
とすると
n(n+3)+1
=(αX+β)(αX+β+3)+1
=(αX)^2+α(2β+3)X+(β^2+3β+1)
よって
とりあえずw
α=β^2+3β+1
のときはαが因数になる
20投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時29分21秒
必要充分条件とすべきでしたか、、、
21投稿者: 投稿日:2008年05月07日(水) 20時46分40秒
仕切り直しで、
必要充分条件をお願いします
22投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 20時59分58秒
まずn=1のとき
n(n+3)+1=5で条件をみたさない。
n>1のときnは
αX+β(α、βは素数、Xは整数)
という形で書けて
n(n+3)+1
=(αX+β)(αX+β+3)+1
=(αX)^2+α(2β+3)X+(β^2+3β+1)
よって
まずα=β^2+3β+1(★)
のときはαが因数になり条件をみたす。
次に
αY=β^2+3β+1(Yは整数)
と書ける可能性を検討すると
0=β^2+3β+1-αY
の判別式
13-4αY≧0
をみたす素数α,整数Yは存在しない。
よって(★)の場合のみ。
23投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 21時00分27秒
と言い切っていいのかどうか
24投稿者:Yの定義のとこ以下に訂正  投稿日:2008年05月07日(水) 21時05分51秒
αY=β^2+3β+1(Yは0と1以外の整数)
と書ける可能性を検討すると
0=β^2+3β+1-αY
の判別式
13-4αY≧0
をみたす素数α,0と1以外の整数Yは存在しない。
よって(★)の場合のみ。
25投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 21時09分51秒
いけね。判別式のとこプラスとマイナスまちがえたw
>>22-24は無しで
26投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 22時48分54秒
a,bが整数として
nがn=(ab-1)/(a+b+3)
を満たす自然数の時
n(n+3)+1は素数にならない。
27投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 22時58分53秒
Natural Number n satisfies n=(ab-1)/(a+b+3) iff n(n+3)+1 is not Prime Number.

のようなかんじの記述を望んでたんですが証明を宜しくお願い致します。
28投稿者:26  投稿日:2008年05月07日(水) 23時11分52秒
a,bは整数として自然数の積を強引に(n-a)(n-b)にして
n(n+3)+1=(n-a)(n-b)
とすればnの2次がキャンセルされて
あとは式変形。
こんなのが答えとは思えない。
29投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月07日(水) 23時15分53秒
('A`) ちょっと 酔いが まわって きた ので 今日は ここらへんで
   ゴメンナサイ
30投稿者:こうは  投稿日:2008年05月07日(水) 23時31分14秒
ekivenか
31投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月08日(木) 07時03分38秒
>>1>>29なの?
32投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月08日(木) 08時55分52秒
1≠29=27 か
33投稿者:こうは  投稿日:2008年05月08日(木) 09時00分15秒
難しい
34投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月08日(木) 11時37分26秒
大さんage
35投稿者: 投稿日:2008年05月08日(木) 11時43分53秒 ID:kFiti5Fm
こんな高度な数学俺には無理だと思う。
というか素数じゃない条件てn=5m+1( mは自然数) 
これがもう答だと思うんだけどな。
36投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月08日(木) 13時02分14秒
>>10-11
m=4のとき素数になることを確認しますた
37投稿者: 投稿日:2008年05月08日(木) 15時24分27秒 ID:kFiti5Fm
そもそも力技で実例試したりエクセルで全組み合わせ考えたりする
俺の今までの解法はエレガントから程遠いな。どっちかというと
アロガント
38投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月08日(木) 15時26分19秒
模範解答の発表は?
39投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月08日(木) 15時50分49秒
その前に補題です。
n^2+1 が素数になる必要充分条件を求めてみてください。
40投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月08日(木) 23時56分29秒
>>26的な意味で
a,bが整数として
nがn=(ab-1)/(a+b)
を満たす自然数の時
n^2+1は素数にならない。
くらいしか
41投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月11日(日) 20時34分12秒
そろそろ発表を
42投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月12日(月) 08時24分30秒
該当する場合が多すぎて絞れないじょ
43投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月12日(月) 14時47分17秒
>p = [ θ^(3^n) ] としたとき、すべての自然数 n に対して p が必ず素数と
>なるような定数 θ が存在します。但し [] はガウスの記号。

顔文字やん
44投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月13日(火) 09時13分37秒
こんな人だったのか
http://www.zakzak.co.jp/top/2008_05/t2008051237_all.html
45投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月13日(火) 09時19分59秒
ナント、、、合掌(;-;)
学コン懐かしいな
受験勉強であれをやってる時が至福の時だったです
46投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月13日(火) 09時24分47秒
>>41 聞く所によると、補題>>39すら未解決だそうです
解けたら論文になりそう
無責任な出題をして申し訳ありませんでした。
47投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月13日(火) 09時29分06秒
なんか理系の学者さんって長髪多くない?あと芸術系

>>46
DAYONE
48投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月13日(火) 12時17分03秒
ふざけんな。
なにが「エレガントな」解答求むだ。
49投稿者:こうは  投稿日:2008年05月13日(火) 12時18分11秒
>>2が一番エレガント
50投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月13日(火) 13時32分57秒
('A`) ゴ、ゴメン 謝る 悪かった 私が莫迦でした >>48
51投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月13日(火) 14時04分55秒
え!ちょっと待って
>>1も駅弁なの???
52投稿者:ヾ(゚д゚)ノ゛バカー  投稿日:2008年05月13日(火) 14時17分27秒
>素因子

っていうのがなんか駅弁くさい感じではあったのだが
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