■ カロビーネタバレすれっど

1投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ｾﾝﾓﾝｰ 　投稿日：2007年10月31日(水) 21時54分20秒

ネタバレレスはすべからくここで

18投稿者：ヾ(ﾟдﾟ)ﾉ゛ｿﾉﾀｰ 　投稿日：2009年03月22日(日) 08時31分12秒

題意を充たす正方形Ｘ，Ｙが存在すると仮定してみる。
そして、そのそれぞれの一辺の長さを
Ａ／Ｂ，Ｃ／Ｄ （ともに既約分数）とする。
すると、ＸとＹの面積の和は
Ａ＾２／Ｂ＾２　＋　Ｃ＾２／Ｄ＾２
＝（Ａ＾２＊Ｄ＾２　＋　Ｂ＾２＊Ｃ＾２）／（Ｂ＾２＊Ｄ＾２）・・・（１）
ここでＢに注目する。
（１）が整数になるには分子がＢ＾２で割り切れることが必要。
Ａ／Ｂは既約分数であるからＡ＾２はＢ＾２では割り切れない。
なお、Ｂ＝１はありえない。Ｂ＝１ならばＸ，Ｙの面積の和は
　整数＾２＋分数＾２　または　整数＾２＋整数＾２　となり
あきらかに３にはならず不適。
よってＤ＾２がＢ＾２で割り切れるはず。そこで
Ｄ＾２＝Ｍ＊Ｂ＾２　（ただし、Ｍは０以外の整数）
と表せるはずで、これを（１）に代入すると
（Ａ＾２＊Ｍ＊Ｂ＾２　＋　Ｂ＾２＊Ｃ＾２）／（Ｂ＾２＊Ｍ＊Ｂ＾２）
＝（Ａ＾２＊Ｍ　＋　Ｃ＾２）／（Ｍ＊Ｂ＾２）・・・（２）
また Ｃ／Ｄ に代入すると Ｃ／（Ｍ＊Ｂ＾２） は既約分数となり
よってＭとＣは互いに素。（つづく）

19投稿者：↓ 　投稿日：2009年03月22日(日) 08時31分45秒

ここで（２）のＭに注目すると（２）が整数であるならば
分子がＭで割り切れるはずだが、ＭとＣは互いに素だから
Ｍで分子を割り切るにはＭ＝１でなくてはならない。
よってＤ＾２＝Ｂ＾２。これを（１）に代入すると
（Ａ＾２＊Ｂ＾２　＋　Ｂ＾２＊Ｃ＾２）／（Ｂ＾２＊Ｂ＾２）
（Ａ＾２　＋　Ｃ＾２）／（Ｂ＾２）＝３
Ａ＾２　＋　Ｃ＾２＝３＊（Ｂ＾２）・・・（３）
（３）の右辺と左辺を比較すると Ａ＾２　＋　Ｃ＾２ は
３で割り切れるはず。そして
（３ｎ＋０）＾２＝３（３ｎ＾２）
（３ｎ＋１）＾２＝３（３ｎ＾２＋２ｎ）＋１
（３ｎ＋２）＾２＝３（３ｎ＾２＋６ｎ＋１）＋１
だから、二つの平方数の和が３で割り切れるのはそれが
「３の倍数の平方数同士の和」である場合のみ。
よって（３）のＡおよびＣは両方とも３の倍数なはずで、
その平方数Ａ＾２およびＣ＾２は両方とも９の倍数なはず。
よってその右辺 ３＊（Ｂ＾２）も９の倍数であるはずで
だとすればＢは３の倍数なはずだが、そうするとＡもＢも
３の倍数となり、Ａ／Ｂが既約分数であるという前提と矛盾。
よって題意を充たす正方形Ｘ，Ｙが存在するという仮定は誤りで
かかる正方形Ｘ，Ｙは存在しない。よってその発生する確率は０。■

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